マルチスケール・ブートストラップ法

数値例1. 正規モデル $Y\sim N_p(\eta,\tau^2I_p)$ ．球体 ${\cal R}=\{\eta : \Vert\eta\Vert^2 \le n \}$ ．ただし$p=4,n=10$ ．観測データを $\Vert y\Vert^2=26.80$ と すると， $y\not\in{\cal R}$ である． $\Vert y\Vert-\sqrt{n}=5.177-3.162=2.015$ が仮説 $\eta\in{\cal R}$ を棄却するほど十分に大きいといえるか？

このとき $n_1=3,6,10,15,21$ とサンプルサイズを変化させるとスケール $\tau_1=\sqrt{n/n_1}$ のブートストラップ確率は

$$\tilde\alpha_1(y,\tau_1)=0.0359,\, 0.0205,\, 0.0085,\, 0.0028,\, 0.0008$$

と変化する．特に $\hat\alpha_0(y)=0.0085$ は1%以下であり，仮説を棄 却する十分な証拠があると判断する．

この簡単な例では$\Vert Y\Vert^2$ が非心カイ二乗分布に従うことを利用して厳密に不 偏な確率値が計算できる．この値は $\hat\alpha_\infty(y) = \Pr\{\Vert Y\Vert\ge\Vert y\Vert;\eta\in\partial {\cal R}\} = 0.05$ であり，先ほどの $\hat\alpha_0(y)$ の値は厳密値から大きく異なっていたことになる．

一般に$\alpha$ 値から$z$ 値 $=-\Phi^{-1}(\alpha)$ を定義する．ただし $\Phi^{-1}(\cdot)$ は標準正規分布関数の逆関数である． 11節の議論によって， $\tilde z_1(y,\tau_1)=-\Phi^{-1}(\tilde \alpha_1(y,\tau_1))$ と$\tau_1$ の関係は 次式で表現されることが示される．

$$\tilde z_1(y,\tau_1) \approx \hat v/ \tau_1 + \hat c \tau_1$$

ただし$\approx$ は両辺の誤差が $O(n^{-3/2})$ であることを表す．係数は幾何学 的な量を反映しており，$\hat v$ は$y$ と $\partial{\cal R}$ の距離を表し，$\hat c$ は $\partial{\cal R}$ の曲率を表す．この理論式を実際に得られたブートストラップ確 率に当てはめて，$\hat v$ と$\hat c$ を回帰係数として推定すると， $\hat v=2.002,\hat c = 0.385$ が得られる．

実は不偏な確率値の$z$ 値 $\hat z_\infty(y)=-\Phi^{-1}(\hat \alpha_\infty(y))$ は

$$\hat z_\infty(y) \approx \hat v- \hat c$$

を満たすことが示せるので， $\hat z_1(y)=\hat v- \hat c$ ， $\hat\alpha_1(y)=\Phi(-\hat z_1(y))$ と定義して，先ほど推定した $\hat v,\hat c$ を代入すると，

$$\hat\alpha_1(y) = \Phi(-2.002 + 0.385) = 0.0529$$

が得られる．以上のようにスケールを変化させた複数個のブートストラップ確率 から高精度の確率値を計算する手続きをマルチスケール・ブートストラップ法と いう(Shimodaira 2002)．正規モデルを仮定すると，任意の${\cal R}$ に対して $\hat\alpha_1(y)$ は３次の精度になる．

$\tilde z_1(y,\tau)$ を縦軸，$1/\tau$ を横軸にプロットすると，次式に示され るように，$\tau=1$ における曲線の傾きが $\hat z_1(y)$ になる．

$$\frac{\partial \tilde z_1(y,\tau)}{\partial (1/\tau)}\Bigr\vert _{\tau=1} \approx \hat z_1(y)$$

したがって，この方法はスケールを変化させたときのブートストラップ確率の変 化率から高精度確率値を計算しているといえる．