加速定数

数値例2. 各$X_i$ が期待値$\mu$ の指数分布に従うとき， $Y=\sqrt{n}\bar X$ はガンマ分布($p=1$ ，指数$n$ )に従い，期待値 $\eta=\sqrt{n}\mu$ である．仮説は $\eta\le\sqrt{n}$ とする．$n=10$ ， $y=4.968$ とすれば， $y-\sqrt{n}=1.806>0$ であり $y\not\in{\cal R}$ となる．実はちょ うど $\hat\alpha_\infty(y)=0.05$ となるように値を選んである．

数値例1と同様に計算を行うと，

$$\tilde\alpha_1(y,\tau_1) = 0.2990,\, 0.1875,\, 0.1115,\, 0.0622,\, 0.0322$$

から $\hat v= 1.328, \hat c=-0.110$ が推定される．確率値は

$$\hat\alpha_1(y)=\Phi(-1.328-0.110)=0.0753$$

である． $\hat\alpha_0(y)=0.1115$ に比べれば $\hat\alpha_\infty(y)=0.05$ に 近いものの，必ずしも精度が高くないことが分かる．

前節では正規モデルを仮定していたが，一般の指数型分布族では

$$\tilde z_1(y,\tau_1) \doteq \frac{\hat v- 2 \hat a \hat v^2}{\tau_1} + (\hat c-\hat a)\tau_1,$$

と書ける．ただし$\doteq$ は両辺の誤差が$O(n^{-1})$ で あることを表す．$\hat a$ は加速定数と呼ばれ，確率モデルの性質と $\partial{\cal R}$ から定まる量である．正規モデルでは$Y$ の分散行列が単位行列に 固定されていたことが本質的であり$\hat a=0$ であった．一般の指数型分布族で は， $\partial{\cal R}$ の法ベクトル方向に関して，$\eta$ を動かしたときの分散の 変化率が$\hat a$ に反映されている．

Efron (1987)のABC法によれば，3個の幾何学的な量 $\hat v, \hat c, \hat a$ を用いて 不偏な確率値は

$$\hat z_\infty(y) \doteq \hat v- \hat c+ \hat a(1-\hat v^2)$$

と表現される．一方，前節の方法で計算した確率値は

$$\hat z_1(y)\doteq \hat v - \hat c+ \hat a(1-2\hat v^2)$$

であり， $\hat a \hat v^2=O(n^{-1/2})$ だけ誤差が ある．これを補正するために，$\hat a$ を推定する必要がある．