不偏検定

パラメタ空間の正の体積を持つ領域${\cal R}$ は滑らかな境界 $\partial{\cal R}$ を持つと 仮定し，興味のある仮説を「 $\eta\in{\cal R}$ 」とする．仮説の領域を$\mu$ で表現 したときのサイズを$O(1)$ とするので，$\eta$ で表現すると $O(n^{1/2})$ で大き くなる．

例 (球体). ${\cal R}=\{\eta : \Vert\eta\Vert\le n^{1/2} \}$ ，球面 $\partial{\cal R} = \{\eta : \Vert\eta\Vert = n^{1/2} \}$ ．

スケール$\tau$ のブートストラップ確率は

$$\tilde\alpha_1(y,\tau) = \Pr\{Y^* \in {\cal R};y,\tau \}$$

である．通常は$\tau=1$ なので，これを特に $\hat\alpha_0(y)=\tilde \alpha_1(y,1)$ と書く．$y$ が${\cal R}$ から遠く離れるほど $\hat\alpha_0(y)$ が0に 近づき，仮説が正しくないことを示唆する．あらかじめ決めた有意水準 $0<\alpha<1$ に対して $\hat\alpha_0(y)<\alpha$ ならば，仮説を棄却する．

仮説を検定するための一般の確率値を $\hat\alpha(y)$ と書く．棄却確率は $\beta(\alpha,\eta)=\Pr\{\hat\alpha(Y)<\alpha; \eta\}$ である．仮説 検定では任意の $\eta\in{\cal R}$ に対して $\beta(\alpha,\eta)\le\alpha$ を要求す る．さらに任意の $\eta\not\in{\cal R}$ に対して $\beta(\alpha,\eta)\ge\alpha$ な らば，この検定は不偏であるという． $\beta(\alpha,\eta)$ は$\eta$ に関して 連続であるから，不偏ならば

$$\beta(\alpha,\eta)=\alpha,\quad \eta\in\partial{\cal R}$$

である．この等式が厳密には成り立たない場合，その誤差がバイアスであり，こ れを小さくする確率値の計算法を与えたい．バイアスが $O(n^{-k/2})$ であれば， $k$ 次の精度の近似的に不偏な検定であり，$k$ が大きいほど望ましいと考える． $\hat\alpha(y)$ として $\hat\alpha_0(y)$ を用いると$k=1$ であるが，以下に述 べる方法では$k=3$ になり，より精度の高い方法といえる．