チューブ座標系

指数型分布族の密度関数は $\exp\left( \theta^i y_i - \psi(\theta) - h(y) \right)$ の形に書ける．自然パラメタ$\theta^i$ の代わりに期待値パラメタ $\eta_i = {\partial \psi / \partial \theta^i }$ , $i=1,\ldots,p$ を用いた 密度関数を$f(y;\eta)$ と書く．ポテンシャル関数は $\phi(\eta) = \max_\theta \left\{ \theta^i \eta_i - \psi(\theta) \right\}$ である．計量 行列 $\phi^{ij}(\eta)={\partial^2 \phi(\eta) / \partial \eta_i \partial \eta_j }$ の$\eta=0$ における値を$\phi^{ij}$ と書く．同様に1階微分を $\phi^i$ ，高階微分を $\phi^{ijk}$ , $\phi^{ijkl}$ などと書くと， $\phi^{ijk}=O(n^{-1/2})$ , $\phi^{ijkl}=O(n^{-1})$ である．適当に座標系を 取ることにより，$\phi^i=0$ , $\phi^{ij}=\delta^{ij}$ (単位行列)とできる．

$\eta=0$ の近傍で $\partial{\cal R}$ の曲面をパラメタ表示すると， $\eta_a(u) = u_a, a=1,\ldots,p-1$ , $\eta_p(u) \approx -d^{ab} u_a u_b - e^{abc} u_a u_b u_c$ とテーラ展開できる．ここで $d^{ab}=O(n^{-1/2})$ , $e^{abc}=O(n^{-1})$ である．${\cal R}$ は $\eta_p\le \eta_p(u)$ である． $\partial{\cal R}$ の単位法線ベクトルを${\cal R}$ の外向きに取り$B^p(u)$ と書く．する と$\eta=0$ の近傍で$\eta$ は $\eta_i(u,v)=\eta_i(u)+B^p_i(u)v$ , $i=1,\ldots,p$ と書ける．$v$ は実数であり符号付距離と呼ばれる．$(u,v)$ は法 ベクトル空間が１次元のチューブ座標系であり，座標変換 $\eta\leftrightarrow(u,v)$ が一対一となる近傍だけを考える．ヤコビアンは ${\partial \eta / \partial (u,v)}\approx\exp\bigl[ -$$\mbox{$1 \over 2$}$$\phi^{cpp} u_c +(2d^{aa}-\phi^{aap})v -\bigl\{ 2(d^{ab})^2 -2d^{ab}\phi^{abp} +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{abp})^2\bigr\} v^2 +\bigl\{$   $\mbox{$1 \over 2$}$$d^{cd}\phi^{ppp} -$$\mbox{$1 \over 4$}$$\phi^{cdpp} +$$\mbox{$1 \over 4$}$$\phi^{cpp}\phi^{dpp} +$$\mbox{$1 \over 2$}$$\phi^{acp}\phi^{adp} +2d^{ac}(d^{ad}-\phi^{adp}) \bigr\}u_cu_d +\bigl\{ 6e^{aac} +d^{aa}\phi^{cpp} +4d^{ac}\phi^{app} -\phi^{aacp} +\phi^{aad}\phi^{cdp} +$$\mbox{$1 \over 2$}$$\phi^{aap}\phi^{cpp} -2d^{cd}\phi^{aad} -(2d^{ad}-\phi^{adp}) \phi^{acd} \bigr\}u_cv\bigr]$ である．これを用いて 確率密度関数を$(u,v)$ 座標系で表現する．スケール変換によって$u,v$ が $\tau^{-1}$ 倍， $\phi^{ijk},d^{ab}$ が$\tau$ 倍， $\phi^{ijkl},e^{abc}$ が $\tau^2$ 倍されることを考慮すると次の結果を得る．

定理 (修正符号付距離の分布関数). $v\approx c_0+c_1 w+c_2 w^2+c_3 w^3- u_c b^c(w)$ によって座 標変換 $(u,v)\leftrightarrow(u,w)$ を考える．ただし$c_0,c_2$ は $O(n^{-1/2})$ ， $c_1,c_3,b^c(w)$ は$O(n^{-1})$ である．$w$ を修正符号付距離 と呼ぶ．真のパラメタ値$\eta$ が$(u,v)$ 座標系で $u=0,v=\lambda$ と仮定しても 一般性を失わない．$Y$ は$(u,w)$ 座標系で $(\hat U,\hat W)$ と書く．このとき $\hat W$ の分布関数を $\Pr\{\hat W\le \hat w\} = \Phi(z_c(\hat w;\lambda,\tau))$ と書くと，

$$z_c(\hat w; \lambda,\tau) \approx \tau^{-1} g_{-}(\hat w,\lambda) + \tau g_{+}(\hat w,\lambda)$$

である．ただし， $g_{-}(\hat w,\lambda) = (\hat w- \lambda) -c_0 -$$\mbox{$1 \over 3$}$$\phi^{ppp}\lambda^2 +$   $\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{ppp} \lambda \hat w+($   $\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{ppp} -c_2)\hat w^2 -$$\mbox{$1 \over 6$}$$c_0\phi^{ppp}\lambda -\bigl\{ c_1 +$$\mbox{$1 \over 3$}$$c_0\phi^{ppp} \bigr\}\hat w+ \bigl\{$   $\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$1 \over 18$}$$(\phi^{ppp})^2 -$$\mbox{$1 \over 8$}$$\phi^{pppp} \bigr\}\lambda^3 +\bigl\{ -$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp} \bigr\} \lambda^2 \hat w+ \bigl\{ -$$\mbox{$1 \over 24$}$$(\phi^{ppp})^2+$$\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp} -$$\mbox{$1 \over 6$}$$c_2\phi^{ppp}\bigr\}\lambda \hat w^2 +\bigl\{ -$$\mbox{$1 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2+$$\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp} -$$\mbox{$1 \over 3$}$$c_2\phi^{ppp} -c_3 \bigr\}\hat w^3$ そして $g_{+}(\hat w,\lambda)= -(d^{aa} +$$\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{ppp}) + \bigl\{ (d^{ab})^2-d^{ab}\phi^{abp} +$$\mbox{$1 \over 6$}$$d^{aa}\phi^{ppp} +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{abp})^2 +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$13 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2 -$$\mbox{$1 \over 4$}$$\phi^{aapp} -$$\mbox{$1 \over 8$}$$\phi^{pppp} \bigr\}\hat w+ \bigl\{ (d^{ab})^2-$$\mbox{$1 \over 6$}$$d^{aa}\phi^{ppp} +$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$5 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2 -$   $\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp} \bigr\}\lambda$ である．

上式の $z_c(\hat w; \lambda,\tau)$ はパラメタが $(u,v)=(0,\lambda)$ と仮定して いるが，一般の$(u,v)$ の場合は $z_c(\hat w; u,v,\tau)$ と書く．ブートストラッ プ確率の計算では $z_c(\hat w^* ; \hat u,\hat v,\tau)$ が必要になるが，これ は $z_c(\hat w; \lambda,\tau)$ において$\hat w$ を$\hat w^*$ で，$\lambda$ を $\hat v$ で置き換え，さらに $d^{ab}, \phi^{ijk}$ を $\eta(\hat u,0)$ で評価し た $\hat d^{ab}=d^{ab}+O(n^{-1}), \hat\phi^{ijk}=\phi^{ijk}+O(n^{-1})$ に 置き換えて得られる．加速定数は $\hat a=-\hat \phi^{ppp}/6$ である． $\hat e^{abc}\approx e^{abc},\hat \phi^{ijkl}\approx \phi^{ijkl}$ 等の $O(n^{-1})$ の量に関しては置き換えをする必要はない． $\eta(\hat u,0)$ は $y$ から $\partial{\cal R}$ への射影であり，これを $\hat \eta(y)$ と書く．