近似的に不偏な確率値の分布関数

数値例1や2では厳密に不偏な確率値が容易に得られたが，一般には次のように確 率値を与えると，3次の精度になることが分かる．まず $Y^*\sim f(y^*;\hat \eta(y),1)$ によって複製を生成し，$Y^*$ を$(u,v)$ 座標系で $(\hat U^*, \hat V^*)$ と書く．数値例1や2では$y$ の$v$ 座標$\hat v$ より$\hat V^*$ が大きくな る確率が不偏な確率値になっていた．ここでも同様に

$$\hat\alpha_\infty(y) = \Pr\{\hat V^*\ge \hat v;\hat \eta(y),1 \}$$

によって $\hat\alpha_\infty(y)$ を定義する．この$z$ 値は $\hat z_\infty(y)=z_c(\hat v; \hat u,0,1)$ である．（係数$c_r$ はすべて0である．） つまり， $\hat z_\infty(y) \approx \hat v -(\hat d^{aa} +$$\mbox{$1 \over 6$}$$\hat\phi^{ppp} ) +$$\mbox{$1 \over 6$}$$\hat\phi^{ppp}\hat v^2 + \bigl\{ (d^{ab})^2-d^{ab}\phi^{abp} +$$\mbox{$1 \over 6$}$$d^{aa}\phi^{ppp} +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{abp})^2 +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$13 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2 -$$\mbox{$1 \over 4$}$$\phi^{aapp} -$$\mbox{$1 \over 8$}$$\phi^{pppp} \bigr\}\hat v +\bigl\{ -$$\mbox{$1 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2+$$\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp} \bigr\}\hat v^3$ である．

より一般的に $\hat z_q(y) \approx \hat z_\infty(y) + q_0 + q_1 \hat v+ q_2 \hat v^2 + q_3 \hat v^3 + \hat u_c g^c(\hat v)$ , $q_0=O(n^{-1/2})$ , $q_1=O(n^{-1})$ , $q_2=O(n^{-1/2})$ , $q_3=O(n^{-1})$ , $g^c(\hat v)=O(n^{-1})$ を考えると， この $\hat z_q(y)$ 自身が再び$\hat w$ として表現され，係数は $c_0 = -d^{aa} -$$\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{ppp}+q_0$ , $c_1 = (d^{ab})^2-d^{ab}\phi^{abp} +$$\mbox{$1 \over 2$}$$d^{aa}\phi^{ppp} +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{abp})^2 +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$17 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2 -$$\mbox{$1 \over 4$}$$\phi^{aapp} -$$\mbox{$1 \over 8$}$$\phi^{pppp} +$$\mbox{$1 \over 3$}$$\phi^{ppp} (q_2-q_0) + q_1 + 2d^{aa} q_2 -2q_0 q_2$ , $c_2 =$   $\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{ppp} + q_2$ , $c_3 = -$$\mbox{$5 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2+$$\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp} -$$\mbox{$2 \over 3$}$$\phi^{ppp} q_2 - 2 q_2^2 + q_3$ である．したがって，この係数を $z_c(\hat w;\lambda,1)$ に代入すると， $\hat z_q(Y)$ の分布関数が得られる．特に$\lambda=0$ とおくと， $\Pr\{\hat z_q(Y) \le x ; 0\} \approx \Phi\bigl[ x-q_0 - q_2 x^2 +\bigl\{ -q_1 -2q_2(d^{aa}+$$\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{ppp}-q_0) \bigr\} x +\bigl\{$   $\mbox{$1 \over 3$}$$\phi^{ppp}q_2 + 2q_2^2 - q_3 \bigr\}x^3 \bigr]$ であるから， $\hat \alpha_q(y)=\Phi(-\hat z_q(y))$ が3次の精度の近似的に不偏な確率値 になることと， $q_0\approx q_1\approx q_2\approx q_3\approx0$ は同値であ る．つまり，ここで考えた確率値のクラスで3次の精度を持つのは， $\hat\alpha_\infty(y)$ との違いが $O(n^{-3/2})$ の確率値だけである．この意 味で，$p^*$ -formula (Barndorff-Nielsen 1986)やダブルブートストラップ法 (Hall 1992)から得られる確率値も $\hat\alpha_\infty(y)$ に等価である．