ブートストラップ確率の分布関数

スケール$\tau$ のブートストラップ法 $Y^*\sim f(y^*;y,\tau)$ によって複製を 生成する．この$Y^*$ を$(u,v)$ 座標系で $(\hat U^*, \hat V^*)$ と書く．ブートス トラップ確率は $\tilde \alpha_1(y,\tau)=\Pr\{\hat V^*\le 0;y,\tau \}$ なの で，$z$ 値は $\tilde z_1(y,\tau)=-z_c(0; \hat u, \hat v, \tau)$ である． （ここで係数$c_r$ はすべて0である．）つまり， $\tilde z_1(y,\tau) \approx \tau^{-1}\bigl[ \hat v+$$\mbox{$1 \over 3$}$$\hat\phi^{ppp}\hat v^2 - \bigl\{$   $\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$1 \over 18$}$$(\phi^{ppp})^2 -$$\mbox{$1 \over 8$}$$\phi^{pppp} \bigr\}\hat v^3 \bigr]+\tau\bigl[ (\hat d^{aa} +$$\mbox{$1 \over 6$}$$\hat\phi^{ppp}) - \bigl\{ (d^{ab})^2 -$$\mbox{$1 \over 6$}$$d^{aa}\phi^{ppp} +$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$5 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2 -$   $\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp} \bigr\}\hat v \bigr]$ になる．マルチスケール法は，この$\tau^{-1}$ と$\tau$ の係数を推定す る．特に正規モデルならば $\phi^{ijk}=\phi^{ijkl}=0$ なので，係数は$\hat v$ と $\hat c=\hat d^{aa} - (d^{ab})^2 \hat v$ である．これより計算した $\hat z_1(y)=\hat v- \hat c$ が10節の $\hat z_\infty(y)\approx \hat v -\hat d^{aa} + (d^{ab})^2 \hat v$ の右辺に等しく， $\hat\alpha_1(y)$ が3 次の精度であることが分かる．

$\tau \tilde z_1(y,\tau)$ は再び$\hat w$ 又は $\hat z_q(y)$ として表現でき て，係数は $q_0=(1+\tau^2)(d^{aa}+$$\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{ppp})$ , $q_1=-(1+\tau^2)(d^{ab})^2+d^{ab}\phi^{abp}+$$\mbox{$1 \over 4$}$$\phi^{aapp} -$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{abp})^2 -$   $\mbox{$1 \over 8$}$$(4+\tau^2)(\phi^{app})^2 +$$\mbox{$1 \over 6$}$$(-1+\tau^2)d^{aa}\phi^{ppp} -$   $\mbox{$1 \over 72$}$$(13+5\tau^2)(\phi^{ppp})^2 +$$\mbox{$1 \over 24$}$$(3+\tau^2)\phi^{pppp}$ , $q_2=$$\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{ppp}$ , $q_3=-$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2 -$   $\mbox{$1 \over 24$}$$(\phi^{ppp})^2+$   $\mbox{$1 \over 12$}$$\phi^{pppp}$ である．これよりブートストラップ確率 $\hat\alpha_0(y)$ は一般に1次の精度しかないことが分かる．

2ステップ法の$z$ 値は次の積分より得られる．

$$\tilde z_2(y,\tau_1,\tau_2)=\Phi^{-1}\Bigl\{ \int \Phi(\tilde z_1(y^*,\tau_2))f(y^*;y,\tau_1)\,dy^* \Bigr\}$$

これをもう一度繰り返すと，3ステップ法の$z$ 値も得られる．結果として， 8節の $\tilde z_3(y,\tau_1,\tau_2,\tau_3)$ の右辺は $O(n^{-3/2})$ の誤差で正しく，その係数は $\hat\gamma_1 = \hat v +$$\mbox{$1 \over 3$}$$\hat v^2\hat\phi^{ppp} + \hat v^3\bigl\{ -$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2 -$$\mbox{$1 \over 18$}$$(\phi^{ppp})^2+$$\mbox{$1 \over 8$}$$\phi^{pppp}\bigr\}$ , $\hat\gamma_2 = \hat v\bigl\{-\hat d^{aa} -$$\mbox{$1 \over 6$}$$\hat\phi^{ppp}\bigr\} +\hat v^2\bigl\{(d^{ab})^2 -$$\mbox{$1 \over 2$}$$d^{aa}\phi^{ppp} +$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$1 \over 72$}$$(\phi^{ppp})^2 -$$\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp}\bigr\}$ , $\hat\gamma_3 = -$$\mbox{$1 \over 6$}$$\hat v\hat\phi^{ppp} + \hat v^2\bigl\{$   $\mbox{$1 \over 4$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$1 \over 9$}$$(\phi^{ppp})^2 -$$\mbox{$1 \over 8$}$$\phi^{pppp}\bigr\}$ , $\hat\gamma_4 = \hat v^2\bigl\{ -d^{ab}\phi^{abp} +$$\mbox{$1 \over 3$}$$d^{aa}\phi^{ppp} +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{abp})^2 +$$\mbox{$1 \over 2$}$$(\phi^{app})^2+$$\mbox{$2 \over 9$}$$(\phi^{ppp})^2 -$$\mbox{$1 \over 4$}$$\phi^{aapp} -$$\mbox{$1 \over 6$}$$\phi^{pppp}\bigr\}$ , $\hat\gamma_5 = \hat v^2\bigl\{ -$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2 -$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{ppp})^2+$$\mbox{$1 \over 12$}$$\phi^{pppp}\bigr\}$ , $\hat\gamma_6 = \hat v^2\bigl\{ -$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{app})^2 -$$\mbox{$1 \over 8$}$$(\phi^{ppp})^2+$$\mbox{$1 \over 24$}$$\phi^{pppp}\bigr\}$ である．この係数を8節 の $\hat z_3(y)$ の右辺に代入すると， $\hat z_\infty(y)$ に等価であることが 分かる．つまり3ステップ法は3次の精度である．

なお，2ステップ法, 1ステップ法の結果を確かめるには， $\tilde z_2(y,\tau_1,\tau_2)=\lim_{\tau_3\to0}\tilde z_3(y,\tau_1,\tau_2,\tau_3)$ , $\tilde z_1(y,\tau_1)=\lim_{\tau_2\to0}\tilde z_2(y,\tau_1,\tau_2)$ とすればよい．