3ステップ＝マルチスケール法

各$y^{**}$ からスケール$\tau_3$ のブートストラップ法によって複製$y^{***}$ を一 個だけ生成し，スケール $(\tau_1, \tau_2, \tau_3)$ のブートストラップ確率

$$\tilde\alpha_3(y,\tau_1,\tau_2,\tau_3) = \Pr\{Y^{***}\in {\cal R}; y,\tau_1,\tau_2, \tau_3\}$$

を計算する．前節と同様の議論を繰り返すと次式を得る．

$$\tilde z_3(y,\tau_1, \tau_2, \tau_3) \approx \hat\gamma_1 s_1 \left(1 +\hat\gamma_3 s_2 +4\hat\gamma_3^2 s_2^2 +\hat\gamma_5 s_3 +\hat\gamma_6 s_4 \right)$$

$$-(\hat\gamma_1 s_1)^{-1} \left(\hat\gamma_2 +\hat\gamma_3 s_2 +7\... ...gamma_3^2 s_2^2 +\hat\gamma_4 s_2 +3\hat\gamma_5 s_3 +3\hat\gamma_6 s_4 \right)$$

ただし $s_1 = (\tau_1^2+\tau_2^2+\tau_3^2)^{-1/2}$ , $s_2 = (\tau_1^2 \tau_2^2 +\tau_2^2 \tau_3^2 + \tau_3^2 \tau_1^2)s_1^4$ , $s_3 = (\tau_1^2 \tau_2^2 \tau_3^2 + \tau_2^4 \tau_3^2 + \tau_1^4(\tau_2^2+\tau_3^2))s_1^6$ , $s_4 = (\tau_1^2 \tau_2^2 \tau_3^2)s_1^6$ である．

これから係数 $\hat\gamma_1,\ldots,\hat\gamma_6$ を推定し，

$$\hat z_3(y) = \hat\gamma_1\left(1 +\hat\gamma_3 +4\hat\gamma_3^2... ...^{-1}\left(\hat\gamma_2 + \hat\gamma_3^2/2 +\hat\gamma_4 +\hat\gamma_5 \right)$$

に代入して $\hat\alpha_3(y)$ を計算すると，任意の指数型分布族，任意の${\cal R}$ に対して，この3ステップ＝マルチスケール法は3次の精度である．

数値例2に適用すると， $\hat\gamma_1=1.328, \hat\gamma_2=0.145, \hat\gamma_3=0.127, \hat\gamma_4=-0.018, \hat\gamma_5=-0.0004, \hat\gamma_6=-0.036$ となり，

$$\hat\alpha_3(y) =1-\Phi \biggl \{ 1.328(1 + 0.127 + 0.065 - 0.036)$$

$$+ \frac{0.145 + 0.008 - 0.018 - 0.0004}{1.328} \biggr\} = 0.0509$$

が得られる． $\hat\alpha_2(y)=0.0528$ よりもさらに良いことが分かる．