確率モデル

データに何らかの変換を適用したものを$p$ 次元ベクトル$y$ として表現する． $y$ は確率変数$Y$ の実現値であり，$Y$ の期待値を$\eta$ と書く． $Y\sim f(y;\eta)$ は$\eta$ を未知パラメタとする指数型分布族であり，特に， $y =\sqrt{n}\bar x$ ， $\eta=\sqrt{n}\mu$ の形に書けると仮定する． $n\to\infty$ とする漸近的な議論に関して，ここでは$\eta=O(1)$ とするので， $\mu=O(n^{-1/2})$ のいわゆるlocal alternativesに相当する．

ブートストラップ法は $Y^* \sim f(y^*;y)$ によって$Y^*$ の実現値$y^*$ を多数 生成することに相当する．もし複製データの要素を$n'$ 個に変更すると， $\bar x^*=(x^*_1 + \cdots + x^*_{n'})/n'$ のバラツキのスケールは$\tau$ 倍される． したがって，$f(y;\eta)$ のポテンシャル関数 $\phi(\eta)$ を $\phi(\eta,\tau) = \phi(\eta)/\tau^2$ で置き換えて密度関数 $f(y;\eta,\tau)$ を定義すると， $Y^*\sim f(y^*;y,\tau)$ となる．

例 (正規モデル). $Y$ が$p$ 次元正規分布に従うとき， $f(y;\eta,\tau)$ は $N_p(\eta,\tau^2 I_p)$ ，ポテンシャル関数は $\phi(\eta,\tau)=\Vert\eta\Vert^2/(2\tau^2)$ である．